(root)/iphone/common : 61 : notes/notes.tex

\documentclass[12pt,a4paper,oneside,openany]{article}

\usepackage[squaren]{SIunits}

%% LaTeX Preamble - Common packages

%\usepackage[german]{babel}

\usepackage{setspace}

 

\usepackage[utf8]{inputenc} % Any characters can be typed directly from the keyboard, eg √©√ß√±

\usepackage{textcomp} % provide lots of new symbols

\usepackage{graphicx}  % Add graphics capabilities

\usepackage{flafter}  % Don't place floats before their definition

%\usepackage{topcapt}   % Define \topcaption for placing captions above tables (not in gwTeX)

\usepackage{natbib} % use author/date bibliographic citations

\usepackage{subfigure}

 

\usepackage{amsmath,amssymb}  % Better maths support & more symbols

\usepackage{bm}  % Define \bm{} to use bold math fonts

 

\usepackage[usenames,dvipsnames]{color} 

 

\usepackage[pdftex,bookmarks,colorlinks,breaklinks]{hyperref}  % PDF hyperlinks, with coloured links

%\definecolor{dullmagenta}{rgb}{0.4,0,0.4}   % #660066

%\definecolor{darkblue}{rgb}{0,0,0.4}

%\hypersetup{linkcolor=red,citecolor=blue,filecolor=blue,urlcolor=blue} % coloured links

\hypersetup{linkcolor=black,citecolor=black,filecolor=black,urlcolor=black} % black links, for print output

 

\usepackage{memhfixc}  % remove conflict between the memoir class & hyperref

% \usepackage[activate]{pdfcprot}  % Turn on margin kerning (not in gwTeX)

%\usepackage{pdfsync}  % enable tex source and pdf output syncronicity

 

\usepackage{listings}

\usepackage{nomencl}

 

\usepackage{anysize}

\marginsize{3cm}{3cm}{3cm}{3cm}

 

\onehalfspacing

 

\makenomenclature

\def\nomlabel#1{\textbf{#1}\hfil}

 

\newcommand{\Parameters}{\subsection*{Parameters}}

\newcommand{\ReturnValue}{\subsection*{Return Value}}

\newcommand{\Description}{\subsection*{Description}}

\newcommand{\ClassName}[1]{{\tt #1}}

\newcommand{\ReturnType}[1]{{\tt (#1)}}

\newcommand{\Function}[1]{{\tt #1()}}

\newcommand{\Self}{{\tt self}}

 

\newcommand{\ud}{\ensuremath{\mathrm{d}}}

\newcommand{\vx}{\ensuremath{\boldsymbol{x}}}

\newcommand{\vv}{\ensuremath{\boldsymbol{v}}}

\newcommand{\va}{\ensuremath{\boldsymbol{a}}}

\newcommand{\vf}{\ensuremath{\boldsymbol{f}}}

\newcommand{\mM}{\ensuremath{\boldsymbol{M}}}

\newcommand{\mW}{\ensuremath{\boldsymbol{W}}}

\newcommand{\mJ}{\ensuremath{\boldsymbol{J}}}

\newcommand{\vq}{\ensuremath{\boldsymbol{q}}}

\newcommand{\vC}{\ensuremath{\boldsymbol{C}}}

\newcommand{\vQ}{\ensuremath{\boldsymbol{Q}}}

\newcommand{\vlambda}{\ensuremath{\boldsymbol{\lambda}}}

\newcommand{\vd}{\ensuremath{\boldsymbol{d}}}

\newcommand{\mI}{\ensuremath{\boldsymbol{I}}}

\newcommand{\vc}{\ensuremath{\boldsymbol{c}}}

\newcommand{\vr}{\ensuremath{\boldsymbol{r}}}

\newcommand{\vF}{\ensuremath{\boldsymbol{F}}}

\newcommand{\vtau}{\ensuremath{\boldsymbol{\tau}}}

\newcommand{\valpha}{\ensuremath{\boldsymbol{\alpha}}}

 

\newtheorem{mydef}{Definition}

 

 

\lstset{numbers=left,basicstyle=\footnotesize,numberstyle=\tiny,tabsize=4,breaklines=true}

 

\long\def\symbolfootnote[#1]#2{\begingroup%

\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}\footnote[#1]{#2}\endgroup}

 

 

\begin{document}

 

\tableofcontents

 

\listoffigures

 

\section{Bezier}

 

\begin{eqnarray*}

P_{01} &=& P_0 \cdot (1-t) + P_1 \cdot t \\

P_{12} &=& P_1 \cdot (1-t) + P_2 \cdot t \\

P_{23} &=& P_2 \cdot (1-t) + P_3 \cdot t \\

P_{02} &=& P_{01} \cdot (1-t) + P_{12} \cdot t \\

  &=& \left( P_0 \cdot (1-t) + P_1 \cdot t \right) \cdot (1-t) + \left( P_1 \cdot (1-t) + P_2 \cdot t \right) \cdot t \\

  &=& P_0 \cdot \left( 1-t \right) ^2 + 2 \cdot P_1 \cdot t \cdot \left( 1-t \right) + P_2 \cdot t ^2 \\

P_{13}  &=& P_1 \cdot \left( 1-t \right) ^2 + 2 \cdot P_2 \cdot t \cdot \left( 1-t \right) + P_3 \cdot t ^2 \\

P(t) &=& P_{02} \cdot ( 1 -t ) + P_{13} \cdot t \\

 &=& ( 1 -t ) ^3 P_0 + 3 \cdot  t \cdot ( 1 -t ) ^2 P_1 + 3 \cdot  t^2 \cdot ( 1 -t ) P_2 + t ^3 P_3 \\

\frac{d}{dt}P(t) &=& - 3  (1-t)^2 P_0 + 3 \cdot \left( (1-t)^2 - 2t (1-t) \right) P_1\\

 && + 3 \left( 2t(1-t) - t^2\right) P_2  + 3 t^2 P_3 \\

 &=& - 3 (1-t)^2 P_0 + 3 \left( -4t +3t^2 \right) P_1 + 3 \left( 2t - 3 t^2\right) P_2 + 3 t^2 P_3 \\

\frac{d^2}{dt^2}P(t) &=& 6 (1-t) P_0 + 3 \left( -4 +6t \right) P_1 + 3 \left( 2 - 6 t\right) P_2 + 6 t P_3 \\

 &=& (6-6t) P_0 + \left( 18t - 12 \right) P_1 + \left( 6 - 18 t\right) P_2 + 6 t P_3 \\

 &=& 6\left( (1-t) P_0 + \left( 3t - 2 \right) P_1 + \left( 1 - 3 t\right) P_2 + t P_3 \right) \\

\kappa &=& \frac{x'y'' -y'x''}{(x'^2+y'^2)^{3/2}} \\

x'y'' &=& 6 \left( -3(1-t)^3 x_0y_0 + (3t-2)(9t^2-12t)x_1y_1\right. 

\end{eqnarray*}

 

\section{Pinch Zoom}

 

Zooming the canvas, the point exactly between the two fingers should stay between the two fingers. That point is $T$ in canvas space, and $T'$ in screen space. $T$ must remain stationary between two touches, in both screen and canvas space. The zoom center $Z$ is the point on which the screen is centered. It is $0,0$ in screen space.

 

$r = r - z$ is the offset of view center and pinch center in canvas space. In order for $t$ to remain stationary, $z_{c} = t - t\Delta f_z$. However, this doesn't account for the movement of $t'$ from one event to the next. $\Delta t' = t'_n - t'_{n-1}$, and $\Delta t =  f_z \cdot \Delta t'$. Therefore, to account for parallel motion, 

\begin{eqnarray*}

z_{c} &=& t - \Delta f_z \cdot r + \Delta t \\

z_{c} &=& t - \Delta f_z \cdot r + f_z \cdot (t'_n - t'_{n-1}) \\

\end{eqnarray*}

 

The same procedure can also be written in terms of coordinate system transforms. $M$ is the current canvas transformation, accounting for the zoom factor and the zoom center.

$$M_n = Z_n S_n Z_n^{-1}$$

What is know is that $$ M_n c = M_{n+1} c $$ where $c$ is the center of the pinch.

 

\begin{eqnarray*}

c_n' &=& z_n + f_{n} (c-z_n) \\

c_{n+1}' &=& z_{n+1} + f_{n+1} (c-z_{n+1}) \\

c_{n+1}' - c_n' &=& \Delta t' \\

\Delta t' &=& z_{n+1} + f_{n+1} (c-z_{n+1}) - z_n - f_{n} (c-z_n) \\

\Delta t' &=& (1 - f_{n+1} ) z_{n+1} + f_{n+1} c- z_n - f_{n} (c-z_n) \\

z_{n+1} &=& \frac {\Delta t' - f_{n+1} c + z_n + f_{n} (c-z_n)}{1 - f_{n+1}} \\

z_{n+1} &=& \frac {\Delta t' - f_{n+1} c + (1-f_n)z_n + f_{n} c}{1 - f_{n+1}} \\

z_{n+1} &=& \frac {\Delta t' + (f_n - f_{n+1}) c + (1-f_n)z_n}{1 - f_{n+1}} \\

z_{n+1} &=& \frac {\Delta t' + (f_n - s f_{n}) c + (1-f_n)z_n}{1 - s f_{n}} \\

z_{n+1} &=& \frac {\Delta t' + (1 - s) f_{n} c + (1-f_n)z_n}{1 - s f_{n}} \\

\end{eqnarray*}

 

 

%\printnomenclature

 

%\bibliographystyle{plaindin}

%\bibliography{simtools}

 

\end{document}